PENGGUNAAN TURUNAN

PENGGUNAAN TURUNAN

4.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :

1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.

2. Anggap bahwa nilai itu ada.

3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana bahwa :

(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;

(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

Teorema A :

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

(i). titik ujung dari I.;

(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

max-n-min

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :

Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I.

Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.


Contoh Soal :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval [ -4,0].

Penyelesaian :

® Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6

® Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :

y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)

x + 3 = 0

x = -3

® sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.

y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3

y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4

y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5

Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

4.2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:

(i) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

(ii) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan xi dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) > f(x2)

(iii) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada pada I.

41

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Definisi

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, dan grafiknya)cekung ke atas di sana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

kemonotonan-teori-2

Teorema B

(Terorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i) Jika f “ (x) > 0 untuk semua x dakam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

(ii) Jika f “ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

Contoh Soal :

Cari dimana f naik dan dimana turun, jika h(x) = 1/3 x3 – 3/2 x2 – 4x + 1 dengan menggunakan teorema kemonotonan.

Penyelesaian :

® Turunan dari h(x) adalah h’(x) = x2 – 3x – 4

® Fungsi h naik, jika : h’(x) > 0

x2 – 3x – 4 > 0

(x + 1) (x – 4) > 0

x + 1 > 0 atau x -4 > 0

x > -1 x > 4

® Fungsi h turun, jika : h’(x) < 0

x2 – 3x – 4 < 0

(x + 1) (x – 4) < 0

x + 1 < 0 atau x -4 < 0

x < -1 x < 4

Jadi, titik-titik pemisahnya adalah -1 dan 4, dengan terdiri atas tiga selang yaitu (-¥, -1), (-1, -4), dan (4, ¥). Dengan memakai titik uji -2, 0, dan 5.

· x = -2 ® h(x) = x2 – 3x – 4 = (-2)2 – 3 (-2) – 4 = 4 + 6 – 4 = 6 (positif)

· x = 0 ® h(x) = x2 – 3x – 4 = (0)2 – 3 (0) – 4 = 0 – 0 – 4 = -4 (negatif)

· x = 5 ® h(x) = x2 – 3x – 4 = (5)2 – 3 (5) – 4 = 25 – 15 – 4 = 6 (positif)

→ Sehingga, grafiknya adalah :

42

Jadi, menurut Teorema A, h naik pada (-¥, -1) dan [4, ¥) dan h turun pada [-1, 4].

4.3 MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a ,b) ∩ S;

(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

max-n-min-lokal

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai maksimum lokal f.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai minimum lokal f.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f “ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan andaikan f’(c)=0.

(i) Jika f “ (c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f “ (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh Soal :

Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 12 pada (-¥, ¥).

Penyelesaian :

Fungsi poliom f kontinu dimana-mana (Teorema A kekontinuan fungsi yang dikenal)

→ Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x – 8

→ Titik kritis untuk f yaitu f’(x) = 0

2x – 8 = 0

2x = 8

x = 4

→ f turun, jika : f’(x) < 0

2x – 8 < 0

2x < 8

x < 4

dengan interval (-¥, 4]

→ f naik, jika : : f’(x) > 0

2x – 8 > 0

2x > 8

x > 4

dengan interval [4, ¥)

Jadi, menurut Teorema A (Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokla) poin (ii), yaitu :

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (-¥, 4) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (4, ¥), maka :

f (4) = (4)2 – 8.4 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4

f(4) = -4 adalah nilai minimum lokal.

4.4 LEBIH BANYAK MASALAH MAKSIMUM-MINIMUM

Masalah sebelumnya biasanya menganggap bahwa himpunan yang ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup . Tetapi, selang-selang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau kadang setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam Pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.

Ada beberapa langkah untuk dipakai dalam masalah maks-min terapan.

Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran – besaran kunci.

Langkah 2 Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.

Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari varuabel-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel,misalnya x.

Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis(titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum(minimum).

Contoh Soal :

Sebidang tanah terletak sepanjang sebuah tembok yang akan dipagari untuk sebuah kebun, jika tersedia pagar kawat sepanjang 200 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Berapa ukuran kebun tersebut, agar luasnya maksimum ?

Penyelesaian :

Diket : Keliling = 200 m

Dit : Berapa ukuran kebun agar L maksimum = . . . ?

Jawab :

Gambar Sketsa :

44

→ Misal : lebar = X dan panjang = Y

2L + P = K

2X + Y = 200 m

Y = 200 – 2X

→ Sehingga, L (X) = XY

= X (200 – 2X)

= 200X – 2X2

→ Himpunan nilai-nilai X yang mungkin :

X (200 – 2X) = 0

X = 0 atau 200 – 2X = 0

-2X = -200

X = 100

Jadi himpunan nilai-nilai X yang mungkin dalam interval (0, 100).

→ Titik Kritis : dL = 0

dX

200 – 4X = 0

-4X = -200

X = 50 m

Sehingga X = 50 m, satu-satunya titik kritis yang terletak dalam selang (0,100).

→ Dengan memasukkan titik-titik ujung, ekstrim dari A dapat terjadi hanya di X = 0, 50, atau 100.

A (0) = 0

A (50) = 5000 m2

A (100) = 0

Dengan demikian luas kebun maksimumnya adalah 5.000 m2 yang terletak pada titik kritis X = 50.

→ Untuk X = 50 m → Y = 200 – 2X = 200 – 100 = 100 m.

Oleh karena itu, untuk mendapatkan luas kebun yang maksimum, dengan panjang kawat yang ada, panjang dua sisi yang tegak lurus dengan tembok haruslah 50 m dan sisi yang sejajar dengan tembok harus 100 m.

4.5 PENERAPAN EKONOMIK

A. Biaya total, Biaya Marginal dan Biaya Rata-rata

Biaya variabel (Variabel Cost = VC) adalah biaya yang dipergunakan untuk memproduksi jenis barang yang besarnya tergantung pada banyaknya unit barang yang diproduksi. Jadi, jika jumlah barang yang diproduksi adalah x, maka VC=f(x)

Biaya tetap (Fixed Cost = FC) adalah biaya produksi yang besarnya tetap (tidak tergantung kepada banyaknya barang yang diproduksi) Jadi FC = k

Biaya Total (Total Cost = TC = Q) adalah keseluruhan biaya yang dipergunakan untuk memproduksi jenis barang, yaitu jumlah dari biaya variabel dengan biaya tetap. Jadi biaya total dapat dinyatakan dengan persamaan : TC = VC + FC atau Q = VC + FC atau Q=f(x) + k

Biaya Marginal (Marginal Cost = MC) adalah tingkat perubahan biaya total yang diakibatkan perubahan produksi limit.

Dalam kalkulus, pengertian marginal adalah turunan dari suatu fungsi. Jadi, Biaya Marginal adalah turunan dari Biaya Total, atau MC = Q’

Biaya Rata- Rata (Average Total Cost = ATC = q) adalah biaya yang digunakan untuk memproduksi setiap unit barang. Jadi, jika biaya total adalah Q dan jumlah barang yang diproduksi adalah x, maka : q = Q/x.

B. PendapatanTotal dan Pendapatan Marjinal

Apabila fungsi permintaan adalah D: P = f(x) untuk x = jumlah barang yang diminta dan P = harga per unit maka pendapatan total adalah TR = x.p atau TR = x.f(x)

Pendapatan Marjinal (MR) = TR’

Persoalan yang timbul dalam pendapatan biasanya adalah memaksimumkan pendapatan yang perhitungannya menggunakan konsep nilai maksimum dan minimum.

C. Laba maksimum

Laba = Pendapatan Total – Biaya Total

Jika L menyatakan fungsi laba, R menyatakan fungsi pendapatan total dan Q menyatakan fungsi Biaya Total, maka L = R-Q

Syarat Laba maksimum adalah L’= 0 dan L”<0.

Contoh Soal :

Andaikan C (x) = 5300 + 1,25x + 40 x ½ rupiah. Tentukan biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginal dan hitung mereka bilamana x = 100.

Penyelesaian :

→ Biaya rata-rata : C (x) = 5300 + 1,25x + 40 x1/2

x x

= 5300 + 1,25 (100) + 40 .100 1/2

100

= 5300 + 125 + 400 = 58,25

100

→ Biaya marginal : dC = 1,25 + 40 x -1/2

dx 2

= 1,25 + 20 x -1/2

= 1,25 + 20.100 -1/2

= 1,25 + 2 = 3,25

Pada x = 100, nilai masing-masing yaitu 58,25 dan 3,25. Jadi biaya rata-rata tiap satuan adalah Rp. 5.825 untuk produksi 100 satuan yang pertama; dan untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 100 hanya memerlukan biaya Rp. 325.

4.6 LIMIT DI KETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA

Definisi

(Limit bila x→∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim x→∞ f(x) = L jika untuk masing- masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpandan sedemikian sehingga x > M →│f(x) - L│< ε

Definisi

(Limit bila x→∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim x→-∞ f(x) = L jika untuk masing- masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpandan sedemikian sehingga x < M →│f(x) – L│< ε

Definisi

(Limit-limit tak terhingga). Kita katakan bahwa limf(x) x→c+ = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M , berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x-c < δ → f(x) > M

Contoh Soal :

Cari lim 9x2 – 7x + 4

x®¥ 2x2 + 5x – 2

Penyelesaian :

lim 9x2 – 7x + 4 = lim 9 – 7/x + 4/x2

x®¥ 2x2 + 5x – 2 x®¥ 2 + 5/x – 2/x2

= lim ( 9 – 7/x + 4/x2)

x®¥ (2 + 5/x – 2/x2)

= 9 – 0 + 0 = 9 = 4,5

2 + 0 – 0 2

4.7 PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Menggambar grafik sederhana telah kita pelajari. Pada bagian ini dibahas penggambaran grafik dengan melibatkan banyak titik sehingga gambar grafik tampak jelas. Pada dasarnya untuk menggambar grafik suatu persamaan yang grafiknya rumit atau jika ingin grafik yang sangat cermat, teknik-teknik yang diuraikan pada bab 1 masih terlalu minim. Pada pembahasan ini dipelajari tentang alat ampuh untuk menganalisis kontur grafik secara teliti, terutama menyangkut titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik dapat ditentukan secara persis dimana grafik naik atau turun serta ciri-ciri lainnya.

Polinom = polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

Contoh Soal :

Sketsakan grafik dari :

a. f kontinu dimana-mana

b. f (-2) = -4, f (0) = 0, f(2) = 4

c. f’(-2) = 0, f’(2) = 0, f’(x) > 0 untuk x < -2, f’(x) > 0 untuk -2 < x < 2, f’(x) < 0 untuk

x > 2.

d. f’’(-2) = 0, f’’(2) = 0, f’’(x) < 0 untuk x < -2, f’’(x) > 0 untuk -2 < x < 2, f’’(x) < 0 untuk x > 0.

Catatan :

f’> 0 : naik

f’< 0 : turun

f’’ < 0 : cekung ke bawah

f’’ > 0 : cekung ke atas

f’(x) > 0 : cekung ke atas / terbuka ke bawah

f’(x) < 0 : cekung ke bawah / terbuka ke atas

f’’(x) > 0 : cekung ke atas / terbuka ke bawah

f’’ (x) < 0 : cekung ke bawah / terbuka ke atas

Penyelesaian :

47-c

47-d

Jadi, sketsa ngrafiknya yaitu :

grafik

4.8 TEOREMA NILAI RATA-RATA

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana

f(b) – f(a) / b – a = f’(c)

atau , secara setara, di mana

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

Contoh Soal :

Jika g(x) = 2x2 – 4x + 3 pada [1,3]. Cari bilangan c yang di jamin oleh Teorema Nilai rata-rata.

Penyelesaian :

® g’(x) = 4x – 4

→ Dengan a = 1 dan b = 3 maka :

f(b) – f(a) = f(3) – f(1) = 8 – 0 = 4

b –a 3 – 1 2

® Jadi, menurut Teorema A (teorema nilai rata-rata untuk turunan) :

f(b) – f(a) = f’(c)

b – a

4 = 4c – 4

4 + 4 = 4c – 4 + 4

8 = 4c

c = 2

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d blogger menyukai ini: