INTEGRAL

INTEGRAL

5.1 ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)

Anti turunan (anti pendiferensialan) atau yang biasa kita sebut integral merupakan suatu operasi balikan (invers) dari pendiferensialan (penurunan).

Definisi :

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f (x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).

Misalnya, kita mencari integral dari f(x) = 3x² pada (-∞,∞).

Ø Maka kita peroleh integral dari f(x) = 3x² adalah F(x) = x³. Dan hal ini adalah benar, karena turunan dari integral f(x) → F’(x) = f(x) → 3x² = 3x².

Ø Akan tetapi untuk F(x) = x³ + 5 juga memenuhi F’(x) = 3x², berarti ini juga merupakan suatu anti turunan dari f(x) = 3x².

Ø Hal ini dipertegas oleh grafik yang menunjukkan bahwa F(x) = 3x² + C dengan C konstanta sebarang adalah suatu integral dari 3x² pada (-∞,∞).

Ø Pernyataan inipun dipertegas kembali bahwa setiap integral f(x) = 3x² berbentuk F(x) = x³ + C sesuai Teorema 4.8.B yang berbunyi :

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua-x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C untuk semua x dalam (a, b).

Dari penjelasan di atas, dapat kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi f mempunyai suatu integral, maka turunan dari integral itupun akan bernilai sama walaupun ditambahkan dengan suatu konstanta sebarang.

Jadi mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru f dapat dituliskan :

∫ f(x) dx = F(x) + C

Persamaan itu adalah benar, asalkan F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx. Sehingga rumus di atas dapat juga dituliskan :

∫ dF(x) = F(x) + C

NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN

Jika dalam suatu turunan kita gunakan lambang Dx, maka dalam integral pada awalnya digunakan lambang Ax. Misalnya :

Ax (5x⁴) = x⁵ + C

Kemudian, terjadi perubahan pemakaian lambang dan itu digunakan sampai sekarang yaitu dengan menggunakan notasi Leibniz. Lambangnya adalah ∫ f(x) dx. Leibniz memakai istilah integral tak-tentu, dengan ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Misalnya :

∫ 5x⁴ dx = x⁵ + C.

Dimana ∫ disebut tanda integral dan 5x⁴ disebut integran.

Berikut adalah beberapa aturan penulisan lambang integral.

Teorema A

(Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ xr dx = (x ^{r + 1} /r + 1) + C

Perhatikan bahwa anti penurunan suatu pangkat dari x, kita perbesar pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yang baru (pangkat semula ditambah 1).

Apabila r = 0 sehingga angka atau bentuk apapun apabila pangkatnya nol memberikan hasil 1, dan integralnya adalah ;

∫ 1 dx = x + C

Teorema B

∫ sin x dx = – cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C

INTEGRAL TAK-TENTU ADALAH LINEAR

Teorema C

(Kelinearan dari ∫ . . . dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :

i. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx ;

ii. ∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx;

iii. ∫ [ f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx.

ATURAN PANGKAT YANG DIPERUMUM

Teorema D

(Aturan Pangkat Yang Diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka

∫ [g(x)r g’(x) dx = ([g(x)]^r+1 /r + 1) + C

Contoh Soal :

Cari anti turunan F(x) + C dari 18x⁸ – 16x³ + 6x² – 2x + 5

Penyelesaian :

∫ (18x⁸ – 16x³ + 6x² – 2x + 5) dx

= ∫ 18x⁸ dx – ∫16x³ dx + ∫6x² dx – ∫2x dx + ∫5 dx

= 18 ∫x⁸ dx – 16 ∫x³ dx + 6 ∫x² dx – 2 ∫x dx + 5 ∫1 dx

= 18 ( x⁹ /9 + C₁) – 16 (x⁴/4 + C₂) + 6 (x³/3+C₃) – 2 (x²/2 + C₄) + 5 (x + C₅)

= 2x⁹ – 4x⁴ + 2x³ – x² + 5x + (18C₁ – 16C₂ + 6C₃ – 2C₄ + 5C₅)

= 2x⁹ – 4x⁴ + 2x³ – x² + 5x + C

5.2 PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial adalah sebarang persamaan yang mencakup turunan (diferensial) yang tidak diketahui fungsinya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui itu.

Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yakni persamaan diferensial tingkat satu yang terpisahkan, maksudnya persamaan dalam bentuk turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui itu dan variabelnya terpisahkan, misalnya suku y berada pada satu ruas dari persamaan dan suku x pada ruas yang lainnya.

PEMISAHAN VARIABEL

Contoh persamaan diferensial yaitu dy/dx = 4x³ + x²/ y³.

Didalam contoh tersebut, terlihat bahwa persamaan dalam bentuk turunan pertama (dy/dx bukan d²y/dx²) dan variabelnya bisa dipisahkan yaitu dengan cara :

→ dy/dx = (4x³ + x² )/ y³ (kedua ruas dikali y³dx)

→ y³dy = (4x³ + x² ) dx

Disini terlihat bahwa variabel terpisahkan, suku y berada pada ruas kiri dan suku x berada pada ruas kanan.

MASALAH GERAK

Didalam konteks turunan, kita mengenal s(t) yang menyatakan posisi, v(t) menyatakan kecepatan, dan a(t) menyatakan percepatan. Dimana :

Ø v(t) turunan pertama dari s(t) → s’(t) = ds/dt

Ø a(t) turunan pertama dari v(t) → v’(t) = dv/dt atau

turunan kedua dari s(t) → s”(t) = d²s/ dt²

Dan di dalam konteks integral, kita menuju proses kebalikannya. Misalnya apabila a(t) diketahui maka kita akan mancari v(t) dan s(t) dengan menggunakan konsep integral. Dimana :

Ø v integral dari a → v = ∫ a dt

Ø s integral dari v → s = ∫ v dt

Contoh Soal :

1. Selesaikan persamaan diferensial berikut :

dy / dx = 6x⁵ + 1; kemudian cari penyelesaian bilamana y = 4 di x = 1.

Penyelesaian :

Ø dy / dx = 6x⁵ + 1

dy = (3x² + 1) dx

Ø ∫ dy = ∫ (6x⁵ + 1) dx

y + C1 = x⁶ + 1 + C2

y = x⁶ + 1 + C2 – C1

y = x⁶ + 1 + C

Ø Substitusikan y =4 dan x = 1

4 = 6 + 1 + C

4 = 7 + C

C = -3

Jadi persamaannya menjadi y = x⁶ +1 – 3 = x⁶ -2

2. Pada permukaan planet X, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari suatu ketinggian awal 500 kaki dengan kecepatan 55 kaki per detik, cari kecepatan dan tingginya 3 detik kemudian.

Penyelesaian :

Diket : a = -5,28

v = 55

s = 500

Dit : a. v → t = 3 = . . . ?

b. s → t = 3 = . . .?

Jawab :

Ø a = dv / dt = -5,28

v = ∫ -5,28 dt

v = -5,28t + C

Karena v = 55 pada t = 0 maka C = 55, sehingga :

v = -5,28t + 55

Ø v = ds / dt = -5,28t + 55

s = ∫(-5,28t + 55) dt

s = -2,64 t² + 55t + C

Karena s = 500 pada t = 0 maka C = 500, sehingga :

s = -2,64 t² + 55t + 500

Jadi v dan s pada t = 3, yaitu :

1. v = -5,28(3) + 55 = -15,84 + 55 = 39,16 kaki per detik.
2. s = -2,64 (3)² + 55(3) + 500 = -23,76 + 165 + 500 = 641,24 kaki.

PENGGUNAAN TURUNAN

PENGGUNAAN TURUNAN

4.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :

1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.

2. Anggap bahwa nilai itu ada.

3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana bahwa :

(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;

(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

Teorema A :

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

(i). titik ujung dari I.;

(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :

Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I.

Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh Soal :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x² + 6x + 5 pada interval [ -4,0].

Penyelesaian :

® Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6

® Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :

y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)

x + 3 = 0

x = -3

® sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.

y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3

y(-3) = (-3)² + 6 (-3) + 5 = -4

y(0) = 0² + 6 (0) + 5 = 5

Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

4.2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:

(i) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

(ii) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan xi dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) > f(x2)

(iii) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada pada I.

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Definisi

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, dan grafiknya)cekung ke atas di sana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Terorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i) Jika f “ (x) > 0 untuk semua x dakam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

(ii) Jika f “ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

Contoh Soal :

Cari dimana f naik dan dimana turun, jika h(x) = 1/3 x³ – 3/2 x² – 4x + 1 dengan menggunakan teorema kemonotonan.

Penyelesaian :

® Turunan dari h(x) adalah h’(x) = x² – 3x – 4

® Fungsi h naik, jika : h’(x) > 0

x² – 3x – 4 > 0

(x + 1) (x – 4) > 0

x + 1 > 0 atau x -4 > 0

x > -1 x > 4

® Fungsi h turun, jika : h’(x) < 0

x² – 3x – 4 < 0

(x + 1) (x – 4) < 0

x + 1 < 0 atau x -4 < 0

x < -1 x < 4

Jadi, titik-titik pemisahnya adalah -1 dan 4, dengan terdiri atas tiga selang yaitu (-¥, -1), (-1, -4), dan (4, ¥). Dengan memakai titik uji -2, 0, dan 5.

· x = -2 ® h(x) = x² – 3x – 4 = (-2)² – 3 (-2) – 4 = 4 + 6 – 4 = 6 (positif)

· x = 0 ® h(x) = x² – 3x – 4 = (0)² – 3 (0) – 4 = 0 – 0 – 4 = -4 (negatif)

· x = 5 ® h(x) = x² – 3x – 4 = (5)² – 3 (5) – 4 = 25 – 15 – 4 = 6 (positif)

→ Sehingga, grafiknya adalah :

Jadi, menurut Teorema A, h naik pada (-¥, -1) dan [4, ¥) dan h turun pada [-1, 4].

4.3 MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a ,b) ∩ S;

(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai maksimum lokal f.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai minimum lokal f.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f “ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan andaikan f’(c)=0.

(i) Jika f “ (c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f “ (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh Soal :

Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x² – 8x + 12 pada (-¥, ¥).

Penyelesaian :

Fungsi poliom f kontinu dimana-mana (Teorema A kekontinuan fungsi yang dikenal)

→ Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x – 8

→ Titik kritis untuk f yaitu f’(x) = 0

2x – 8 = 0

2x = 8

x = 4

→ f turun, jika : f’(x) < 0

2x – 8 < 0

2x < 8

x < 4

dengan interval (-¥, 4]

→ f naik, jika : : f’(x) > 0

2x – 8 > 0

2x > 8

x > 4

dengan interval [4, ¥)

Jadi, menurut Teorema A (Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokla) poin (ii), yaitu :

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (-¥, 4) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (4, ¥), maka :

f (4) = (4)² – 8.4 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4

f(4) = -4 adalah nilai minimum lokal.

4.4 LEBIH BANYAK MASALAH MAKSIMUM-MINIMUM

Masalah sebelumnya biasanya menganggap bahwa himpunan yang ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup . Tetapi, selang-selang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau kadang setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam Pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.

Ada beberapa langkah untuk dipakai dalam masalah maks-min terapan.

Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran – besaran kunci.

Langkah 2 Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.

Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari varuabel-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel,misalnya x.

Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis(titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum(minimum).

Contoh Soal :

Sebidang tanah terletak sepanjang sebuah tembok yang akan dipagari untuk sebuah kebun, jika tersedia pagar kawat sepanjang 200 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Berapa ukuran kebun tersebut, agar luasnya maksimum ?

Penyelesaian :

Diket : Keliling = 200 m

Dit : Berapa ukuran kebun agar L maksimum = . . . ?

Jawab :

Gambar Sketsa :

→ Misal : lebar = X dan panjang = Y

2L + P = K

2X + Y = 200 m

Y = 200 – 2X

→ Sehingga, L (X) = XY

= X (200 – 2X)

= 200X – 2X²

→ Himpunan nilai-nilai X yang mungkin :

X (200 – 2X) = 0

X = 0 atau 200 – 2X = 0

-2X = -200

X = 100

Jadi himpunan nilai-nilai X yang mungkin dalam interval (0, 100).

→ Titik Kritis : dL = 0

dX

200 – 4X = 0

-4X = -200

X = 50 m

Sehingga X = 50 m, satu-satunya titik kritis yang terletak dalam selang (0,100).

→ Dengan memasukkan titik-titik ujung, ekstrim dari A dapat terjadi hanya di X = 0, 50, atau 100.

A (0) = 0

A (50) = 5000 m²

A (100) = 0

Dengan demikian luas kebun maksimumnya adalah 5.000 m² yang terletak pada titik kritis X = 50.

→ Untuk X = 50 m → Y = 200 – 2X = 200 – 100 = 100 m.

Oleh karena itu, untuk mendapatkan luas kebun yang maksimum, dengan panjang kawat yang ada, panjang dua sisi yang tegak lurus dengan tembok haruslah 50 m dan sisi yang sejajar dengan tembok harus 100 m.

4.5 PENERAPAN EKONOMIK

A. Biaya total, Biaya Marginal dan Biaya Rata-rata

Biaya variabel (Variabel Cost = VC) adalah biaya yang dipergunakan untuk memproduksi jenis barang yang besarnya tergantung pada banyaknya unit barang yang diproduksi. Jadi, jika jumlah barang yang diproduksi adalah x, maka VC=f(x)

Biaya tetap (Fixed Cost = FC) adalah biaya produksi yang besarnya tetap (tidak tergantung kepada banyaknya barang yang diproduksi) Jadi FC = k

Biaya Total (Total Cost = TC = Q) adalah keseluruhan biaya yang dipergunakan untuk memproduksi jenis barang, yaitu jumlah dari biaya variabel dengan biaya tetap. Jadi biaya total dapat dinyatakan dengan persamaan : TC = VC + FC atau Q = VC + FC atau Q=f(x) + k

Biaya Marginal (Marginal Cost = MC) adalah tingkat perubahan biaya total yang diakibatkan perubahan produksi limit.

Dalam kalkulus, pengertian marginal adalah turunan dari suatu fungsi. Jadi, Biaya Marginal adalah turunan dari Biaya Total, atau MC = Q’

Biaya Rata- Rata (Average Total Cost = ATC = q) adalah biaya yang digunakan untuk memproduksi setiap unit barang. Jadi, jika biaya total adalah Q dan jumlah barang yang diproduksi adalah x, maka : q = Q/x.

B. PendapatanTotal dan Pendapatan Marjinal

Apabila fungsi permintaan adalah D: P = f(x) untuk x = jumlah barang yang diminta dan P = harga per unit maka pendapatan total adalah TR = x.p atau TR = x.f(x)

Pendapatan Marjinal (MR) = TR’

Persoalan yang timbul dalam pendapatan biasanya adalah memaksimumkan pendapatan yang perhitungannya menggunakan konsep nilai maksimum dan minimum.

C. Laba maksimum

Laba = Pendapatan Total – Biaya Total

Jika L menyatakan fungsi laba, R menyatakan fungsi pendapatan total dan Q menyatakan fungsi Biaya Total, maka L = R-Q

Syarat Laba maksimum adalah L’= 0 dan L”<0.

Contoh Soal :

Andaikan C (x) = 5300 + 1,25x + 40 x ^½ rupiah. Tentukan biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginal dan hitung mereka bilamana x = 100.

Penyelesaian :

→ Biaya rata-rata : C (x) = 5300 + 1,25x + 40 x^1/2

x x

= 5300 + 1,25 (100) + 40 .100 ^1/2

100

= 5300 + 125 + 400 = 58,25

100

→ Biaya marginal : dC = 1,25 + 40 x ^-1/2

dx 2

= 1,25 + 20 x ^-1/2

= 1,25 + 20.100 ^-1/2

= 1,25 + 2 = 3,25

Pada x = 100, nilai masing-masing yaitu 58,25 dan 3,25. Jadi biaya rata-rata tiap satuan adalah Rp. 5.825 untuk produksi 100 satuan yang pertama; dan untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 100 hanya memerlukan biaya Rp. 325.

4.6 LIMIT DI KETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA

Definisi

(Limit bila x→∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim x→∞ f(x) = L jika untuk masing- masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpandan sedemikian sehingga x > M →│f(x) – L│< ε

Definisi

(Limit bila x→∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim x→-∞ f(x) = L jika untuk masing- masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpandan sedemikian sehingga x < M →│f(x) – L│< ε

Definisi

(Limit-limit tak terhingga). Kita katakan bahwa limf(x) x→c⁺ = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M , berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x-c < δ → f(x) > M

Contoh Soal :

Cari lim 9x² – 7x + 4

x®¥ 2x² + 5x – 2

Penyelesaian :

lim 9x² – 7x + 4 = lim 9 – 7/x + 4/x²

x®¥ 2x² + 5x – 2 x®¥ 2 + 5/x – 2/x²

= lim ( 9 – 7/x + 4/x²)

x®¥ (2 + 5/x – 2/x²)

= 9 – 0 + 0 = 9 = 4,5

2 + 0 – 0 2

4.7 PENGGAMBARAN GRAFIK CANGGIH

Menggambar grafik sederhana telah kita pelajari. Pada bagian ini dibahas penggambaran grafik dengan melibatkan banyak titik sehingga gambar grafik tampak jelas. Pada dasarnya untuk menggambar grafik suatu persamaan yang grafiknya rumit atau jika ingin grafik yang sangat cermat, teknik-teknik yang diuraikan pada bab 1 masih terlalu minim. Pada pembahasan ini dipelajari tentang alat ampuh untuk menganalisis kontur grafik secara teliti, terutama menyangkut titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik dapat ditentukan secara persis dimana grafik naik atau turun serta ciri-ciri lainnya.

Polinom = polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

Contoh Soal :

Sketsakan grafik dari :

a. f kontinu dimana-mana

b. f (-2) = -4, f (0) = 0, f(2) = 4

c. f’(-2) = 0, f’(2) = 0, f’(x) > 0 untuk x < -2, f’(x) > 0 untuk -2 < x < 2, f’(x) < 0 untuk

x > 2.

d. f’’(-2) = 0, f’’(2) = 0, f’’(x) < 0 untuk x < -2, f’’(x) > 0 untuk -2 < x < 2, f’’(x) < 0 untuk x > 0.

Catatan :

f’> 0 : naik

f’< 0 : turun

f’’ < 0 : cekung ke bawah

f’’ > 0 : cekung ke atas

f’(x) > 0 : cekung ke atas / terbuka ke bawah

f’(x) < 0 : cekung ke bawah / terbuka ke atas

f’’(x) > 0 : cekung ke atas / terbuka ke bawah

f’’ (x) < 0 : cekung ke bawah / terbuka ke atas

Penyelesaian :

Jadi, sketsa ngrafiknya yaitu :

4.8 TEOREMA NILAI RATA-RATA

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana

f(b) – f(a) / b – a = f’(c)

atau , secara setara, di mana

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

Contoh Soal :

Jika g(x) = 2x² – 4x + 3 pada [1,3]. Cari bilangan c yang di jamin oleh Teorema Nilai rata-rata.

Penyelesaian :

® g’(x) = 4x – 4

→ Dengan a = 1 dan b = 3 maka :

f(b) – f(a) = f(3) – f(1) = 8 – 0 = 4

b –a 3 – 1 2

® Jadi, menurut Teorema A (teorema nilai rata-rata untuk turunan) :

f(b) – f(a) = f’(c)

b – a

4 = 4c – 4

4 + 4 = 4c – 4 + 4

8 = 4c

c = 2

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!